[특성임피던스 Z0 = 138 * log10(D/r) 수식 유도 및 문제 적용 원리]

안녕하세요.

필기 시험에서 공부하셨듯 무손실 장거리 가공 송전선로의 특성임피던스(Z0)는 보통 300~500 [Ω] 범위를 가지며, 이론적으로 Z0 = sqrt(L / C) = 138 * log10(D/r) 로 표현됩니다.

이 유도식의 유도 과정과 **P.641 문제 14-(1)**에서 이 식이 왜 유용하게 쓰이는지 명쾌하게 풀어드리겠습니다.

1. 유도 과정: L과 C 공식을 sqrt(L/C)에 대입

3상 가공 송전선로 1선당 단위길이(1 km)당 인덕턴스 L과 정전용량 C의 기본 공식은 다음과 같습니다. (단, 외부 인덕턴스 중심 계산 기준)

• 인덕턴스 L: L = 0.4605 * log10(D/r) [mH/km] L = 0.4605 * 10^-3 * log10(D/r) [H/km]

• 정전용량 C: C = 0.02413 / log10(D/r) [μF/km] C = (0.02413 * 10^-6) / log10(D/r) [F/km]

무손실 선로에서 특성임피던스 Z0는 sqrt(L / C) 이므로, 위 두 식을 대입해 정리해 봅니다.

• Z0 = sqrt(L / C) Z0 = sqrt[ {0.4605 * 10^-3 * log10(D/r)} / { (0.02413 * 10^-6) / log10(D/r) } ]

상수 부분과 log10(D/r) 부분을 분리하면:

• Z0 = sqrt( (0.4605 * 10^-3) / (0.02413 * 10^-6) ) * sqrt( {log10(D/r)}^2 )

여기서 분모/분자의 상수 비를 계산해 보면:

• (0.4605 * 10^-3) / (0.02413 * 10^-6) = 19,084.127

이 상수에 제곱근(sqrt)을 취하면:

• sqrt(19,084.127) ≈ 138.145 ≈ 138

따라서 최종적으로 아래와 같은 핵심 관계식이 유도됩니다.

• Z0 = sqrt(L / C) = 138 * log10(D/r) [Ω]

2. P.641 문제 14-(1)에서 이 식이 핵심인 이유

문제 14번을 보시면 선간거리(D)나 전선 반지름(r) 값이 직접 주어지지 않고, **특성임피던스 Z0 = 600 [Ω]**만 주어진 상태에서 L과 C를 구하라고 요구합니다.

이때 위 유도식을 활용하면 선간거리 D나 반지름 r을 알지 못하더라도 log10(D/r) 자체의 통 수치를 바로 구해낼 수 있습니다.

• Z0 = 138 * log10(D/r) = 600 [Ω]
• ∴ log10(D/r) = 600 / 138

이 관계식을 원래의 L과 C 공식에 대입하면 다음과 같이 매우 쉽고 명쾌하게 계산됩니다.

1. 인덕턴스 L 계산: L = 0.4605 * log10(D/r) [mH/km] L = 0.4605 * (600 / 138) = 2 [mH/km] = 2 * 10^-3 [H/km]

2. 정전용량 C 계산: C = 0.02413 / log10(D/r) [μF/km] C = 0.02413 / (600 / 138) = 5.55 * 10^-3 [μF/km] = 5.55 * 10^-9 [F/km]

3. 요약

• 138 log10(D/r) 은 L의 0.4605와 C의 0.02413이라는 물리적 상수의 비율[sqrt(0.4605 * 10^3 / 0.02413) ≈ 138]에서 자연스럽게 도출된 상수에 불과합니다.
• 시험 문제에서 Z0가 주어졌을 때 D와 r 값 없이도 log10(D/r) = Z0 / 138 로 치환하여 L과 C를 즉시 산출해 내는 테크닉으로 활용하시면 됩니다.

원리를 의심해 보고 직접 대입해 보시며 공부하는 질문자님의 학습 태도는 실기 합격에 가장 결정적인 자산입니다. 확신을 갖고 정진하십시오!