반갑습니다. 김대호교수 입니다.
결론부터 말씀드리면, 각 기기(발전기, 변압기, 선로 등)가 가진 저항(%R)과 리액턴스(%X)의 비율이 서로 다르기 때문에 %Z를 단순 덧셈(스칼라 합)하면 안 되고, 반드시 교재처럼 %R은 %R끼리, %X는 %X끼리 분리해서 더하는 '벡터합'을 해야 합니다.
이 원리는 며칠 전 회원님께서 질문하셨던 "피상전력[kVA]을 단순 합산하면 안 되고, 유효전력[kW]과 무효전력[kVar]으로 나누어서 더해야 하는 이유"와 완벽하게 똑같은 원리입니다. 구체적인 이유는 다음과 같습니다.
1. %임피던스는 방향(각도)을 가진 '벡터(Vector)'입니다.
- %R (저항 강하): 유효전력과 마찬가지로 방향이 모두 같습니다(실수부). 따라서 끼리끼리 단순 덧셈이 가능합니다.
- %X (리액턴스 강하): 무효전력과 마찬가지로 방향이 모두 같습니다(허수부). 따라서 끼리끼리 단순 덧셈이 가능합니다.
- %Z (%임피던스): %R과 %X가 합성된 결과물이므로(%Z=%R+j%X), 기기마다 %R과 %X의 비율(X/R)에 따라 벡터의 방향(각도)이 제각각 다릅니다.
2. 가, 나, 다의 임피던스 각도가 다릅니다.
실제 문제의 해설 수치를 살펴보면 각 부분의 %R과 %X 성분비가 완전히 다르다는 것을 알 수 있습니다.
- '가' 부분: %R=0.9950[%],%X=9.9504[%] 로, X가 R보다 10배나 커서 각도가 매우 가파릅니다.
- '나' 부분: %R=13.3865[%],%X=9.2676[%] 로, 오히려 R이 더 커서 각도가 완만합니다.
이렇게 서로 다른 방향을 가리키는 화살표(%Z)들의 길이를 단순히 숫자만 더하게 되면, 실제 목적지(합성 임피던스)에 도달하는 최단 거리보다 값이 항상 더 크게 나오는 오차가 발생합니다.
3. 올바른 합성 임피던스 계산법 (교재의 방식)
만약 모든 기기의 X/R 비율이 완벽하게 똑같다면 %Z끼리 바로 더해도 우연히 답이 맞겠지만, 실제 전력 계통에서 그런 경우는 거의 없습니다.
따라서 교재의 답안처럼 가장 정석적인 방법을 따라야 합니다.
- 1단계: 유효는 유효끼리, 무효는 무효끼리 더하듯이 %R은 %R끼리 모두 더하여 %Rt를 구하고, %X는 %X끼리 모두 더하여 %Xt를 구합니다.
- 2단계: 이렇게 방향을 맞추어 더한 전체 실수부와 허수부를 바탕으로, 피타고라스 정리(%Rt2+%Xt2)를 적용하여 최종적인 합성 %Z를 산출합니다.
💡 핵심 요약 고장 계산에서 여러 기기의 임피던스를 합성할 때, **"피상전력[kVA]처럼 %임피던스[%Z]도 절대 단순 덧셈 불가! 반드시 %R과 %X로 완전히 분해한 뒤 끼리끼리 더하고 마지막에 루트를 씌워 합성한다"**는 대원칙을 꼭 기억해 두시기 바랍니다!
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