반갑습니다. 김대호교수 입니다.
질문 요약: 2차측의 임피던스(저항, 리액턴스 등) 값을 1차측으로 환산할 때, 변압비 a = (V1/V2)를 그대로 곱하지 않고, 왜 a² = (V1/V2)²을 곱하는지 그 이유가 궁금하다는 내용입니다.
임피던스 환산 시 변압비를 제곱하는 이유
결론부터 말씀드리면, 임피던스(Z)는 전압(V)과 전류(I)의 비율(Z=V/I)로 정의되기 때문입니다.
변압기를 거치면 전압과 전류가 모두 변압비에 따라 변환됩니다. 이 두 가지 변화가 임피던스 계산에 동시에 영향을 미치기 때문에, 그 변환 비율이 두 번 곱해져 결과적으로 **변압비의 제곱(a²)**이 되는 것입니다.
아래 수식으로 간단히 증명해 보겠습니다.
- 기본 공식 정의
변압비 (권수비, a) a = 1차 전압(V1) / 2차 전압(V2) 따라서, V1 = a * V2
전류비 a = 2차 전류(I2) / 1차 전류(I1) 따라서, I1 = I2 / a
임피던스 (Z) Z = V / I
- 1차측으로 임피던스 환산 (유도 과정)
우리가 구하려는 것은 **1차측에서 바라본 등가 임피던스(Z1)**입니다.
1차측 임피던스는 정의에 따라 Z1 = V1 / I1 입니다.
여기에 위에서 정의한 기본 공식 V1 = a * V2 와 I1 = I2 / a 를 대입합니다.
Z1 = (a * V2) / (I2 / a)
이 분수식을 정리하면 다음과 같습니다.
Z1 = (a * V2) * (a / I2) Z1 = a * a * (V2 / I2)
여기서 V2 / I2 는 2차측의 임피던스, 즉 Z2 입니다.
따라서 최종적으로 다음과 같은 공식이 유도됩니다.
Z1 = a² * Z2
이처럼, 전압을 환산할 때 변압비 a가 한번 곱해지고, 전류를 환산할 때 1/a이 곱해지면서(나눗셈이므로 역수가 곱해짐), 결과적으로 임피던스는 a * a = a² 만큼 변환되는 것입니다.
2차측 임피던스(Z2): 3 [Ω] 또는 5 [Ω]
1차측으로 환산된 임피던스(Z1): Z1 = a² * Z2 = (3500 / 100)² * Z2
따라서 (3500/100)² * 3 이라는 식은, "2차측에 있는 3Ω의 임피던스가 1차측에서는 얼마짜리 임피던스로 보이는가?" 를 계산하는 정확한 식입니다.
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